$d$-外三角形范畴的Grothendieck群与一种修正的Caldero-Chapoton映射

簇代数与表示论之间的强联系由簇范畴建立。簇特征标，如原始的Caldero-Chapoton（CC）映射，是从某些三角范畴到簇代数的映射，已引起诸多关注。Holm与J{\o}rgensen从充分良好的三角范畴构造了一个修正的CC映射到交换环，该映射在某些条件下是广义frieze。在他们的构造中，使用了簇倾斜子范畴 $\mathcal{T}$ 的一个Grothendieck群的商 $K_{0}^{sp}(\mathcal{T})/M$。在本文中，我们证明该商是一类外三角形范畴的Grothendieck群，从而揭示了其意义以及外三角形结构的相关性。我们借此定义另一个修正的CC映射，其恢复了Holm--J{\o}rgensen的映射。我们在高同调背景下证明我们的结果。设 $\mathcal{S}$ 是一个 $(d+2)$-角范畴，具有子范畴 $\mathcal{X}\subseteq\mathcal{T}\subseteq\mathcal{S}$，其中 $\mathcal{X}$ 是函子有限的且 $\mathcal{T}$ 是 $2d$-簇倾斜的，满足某些温和条件。我们证明范畴 $\mathcal{S}$ 的Grothendieck群 $K_{0}(\mathcal{S},\mathbb{E}_{\mathcal{X}},\mathfrak{s}_{\mathcal{X}})$（配备由 $\mathcal{X}$ 诱导的 $d$-外三角形结构）与商 $K_{0}^{sp}(\mathcal{T})/N$ 之间存在同构，其中 $N$ 是上述 $M$ 的高阶类比。当 $\mathcal{X}=\mathcal{T}$ 时，该同构由J{\o}rgensen近期引入的关于 $\mathcal{T}$ 的高阶指标诱导。因此，在一般情形下，我们可以将取 $\mathcal{S}$ 中对象到其在 $K_{0}(\mathcal{S},\mathbb{E}_{\mathcal{X}},\mathfrak{s}_{\mathcal{X}})$ 中 $K_{0}$-类的映射，理解为关于刚性子范畴 $\mathcal{X}$ 的高阶指标。