模无穷大素数整数环中朴素超越性的若干结果

本文在模无穷大素数的整数环 $\mathcal{A}$ 中给出了各种超越性结果。在环 $\mathcal{A}$ 中，可以考虑两种超越性概念。一种基于 Rosen 引入的有限代数数概念，另一种是朴素意义上的超越性。已知后一种意义上的超越性自动蕴含前一种意义上的超越性。在本文中，我们通过去除 Anzawa-Funakura 和 Luca-Zudilin 结果中的某些假设，并在某些情况下将其提升为朴素超越性命题，从而加强了他们的结果。我们还给出了几个先前文献中似乎未曾出现的朴素超越数示例。尽管我们无法为某些数建立朴素超越性，但在 ABC 猜想下，我们证明了诸如 $\log_{\mathcal{A}}(2)$ 等数的无理性。