Higgs丛模空间的对合与高阶自同构

我们考虑紧黎曼曲面 $X$ 上 $G$-Higgs丛的模空间 $\mathcal{M}(G)$，其中 $G$ 为复半单李群。这是一个 hyperk\"ahler 流形，同胚于 $X$ 的基本群在 $G$ 中表示的模空间 $\mathcal{R}(G)$。本文研究 $\mathcal{M}(G)$ 的有限阶自同构，其由 $H^1(X,Z)\rtimes \mbox{Out}(G)$ 中阶为 $n$ 的元素（其中 $Z$ 为 $G$ 的中心，$\mbox{Out}(G)$ 为 $G$ 的外自同构群）的作用与Higgs场乘以 $n$ 次单位根组合得到，并描述不动点子簇。我们特别关注对合情形，即由 $H^1(X,Z)\rtimes\mbox{Out}(G)$ 中阶为 $2$ 的元素作用与Higgs场乘以 $\pm 1$ 组合定义。此时，在(+1)情形下不动点子簇是 $\mathcal{M}(G)$ 的 hyperk\"ahler 子流形，对应于由 $G$ 的全纯对合定义的 $G$ 的某些约化复子群中基本群表示的模空间；而在(-1)情形下，它们是拉格子簇，对应于 $X$ 的基本群在 $G$ 的实形式及这些的某些扩张中表示的模空间。我们以 $G=\mbox{SL}(n,\mathbb{C})$ 的对合，以及 $G=\mbox{Spin}(8,\mathbb{C})$ 由三重性定义的对合和三阶自同构的描述来阐明一般理论。