映射类群在特征标簇与Higgs丛上的作用

我们考虑一个紧致定向曲面 $S$（亏格 $g \geq 2$）的映射类群 $Mod(S)$ 的有限子群在表示模空间 $\mathcal{R}(S,G)$ 上的作用，其中表示为 $\pi_1(S)$ 到连通半单实李群 $G$ 的表示。Kerckhoff 对 Nielsen 实现问题的解答保证了在 $S$ 的 Teichm\"uller 空间中存在一个元素 $J$，使得 $\Gamma$ 可实现为 $X=(S,J)$ 的自同构群（全纯或反全纯）的子群。我们根据 $X$ 上配备某种扭曲的 $\Gamma$-等变结构的 $G$-Higgs 丛来识别 $\Gamma$ 在 $\mathcal{R}(S,G)$ 上作用的不动点，其中扭曲同时涉及交换与非交换群上同调。当 $G$ 的极大紧子群的各向同性表示核平凡时，这些不动点可用 $Y=X/\Gamma^+$ 上的熟悉对象来描述，其中 $\Gamma^+ \subset \Gamma$ 是 $\Gamma$ 中由 $X$ 的全纯自同构组成的极大子群。若 $\Gamma=\Gamma^+$，则得到 $X$ 上实际的 $\Gamma$-等变 $G$-Higgs 丛，其依次对应于 $Y=X/\Gamma$ 上的抛物 Higgs 丛（这推广了 Nasatyr \& Steer 对于 $G=SL(2,\mathbb{R})$ 以及 Boden, Andersen \& Grove 和 Furuta \& Steer 对于 $G=SU(n)$ 的工作）。另一方面，若 $\Gamma$ 具有反全纯自同构，则 $Y=X/\Gamma^+$ 上的对象对应于伪实抛物 Higgs 丛。这是第一作者与 Biswas \& Hurtubise 所研究的伪实 Higgs 丛在抛物设置中的推广。