从 $S^1$-不动点到 $\mathcal{W}$-代数表示

我们研究了一个参数化 $\mathbb{CP}^1$ 上过滤 $SL(K)$-Higgs 丛的集合 $\mathcal{M}_{K,N}$，其在 $z = \infty$ 处有一个不规则奇点，使得 Higgs 场的特征值增长如 $\lvert \lambda \rvert \sim \lvert z ^{N/K} \mathrm{d} z \rvert$，其中 $K$ 和 $N$ 互质。$\mathcal{M}_{K,N}$ 带有一个 $\mathbb{C}^\times$-作用，类似于 Hitchin 在紧曲线上的 Higgs 丛模空间上引入的著名 $\mathbb{C}^\times$-作用。在 $\mathcal{M}_{K,N}$ 上构造此 $\mathbb{C}^\times$-作用涉及底空间 $\mathbb{CP}^1$ 的旋转自同构。我们对这个 $\mathbb{C}^\times$-作用的不动点进行了分类，并展示了这些不动点与顶点代数 $\mathcal{W}_K$ 的某些表示之间奇妙的 1-1 对应；特别地，我们有关系 $\mu = \frac{1}{12} \left(K - 1 - c_{\mathrm{eff}} \right)$，其中 $\mu$ 是 Higgs 场 $L^2$ 范数的正则化版本，而 $c_{\mathrm{eff}}$ 是相应 $W$-代数表示的有效 Virasoro 中心荷。我们还讨论了 $\mathcal{M}_{K,N}$ 的 Bialynicki-Birula 型分层，其中流形层由底层过滤向量丛的同构类标记。