二维欧拉方程和弗拉索夫方程的不变测度

我们讨论了诸如二维欧拉方程或弗拉索夫方程等偏微分方程的不变测度。对于二维欧拉方程，从适用于动力学 N 维近似的刘维尔定理出发，我们将微正则测度定义为 N 趋于无穷时的极限测度。当仅考虑能量和涡度不变量时，我们给出显式计算以证明以下结果：微正则测度实际上是对应于平均场熵最大化的 Young 测度。我们解释了当考虑所有动力学不变量时，这一结果为何对更一般的微正则测度仍然成立。我们给出了这些微正则测度是二维欧拉方程动力学不变测度的显式证明。我们描述了一组更一般的不变测度，并简要讨论了它们的稳定性及其对二维欧拉方程遍历性的影响。还讨论了这些结果向弗拉索夫方程的推广，以及对于具有排斥凸势的弗拉索夫方程，统计平衡唯一性的证明。尽管本文仅考虑哈密顿方程（无守恒量通量）的不变测度，但我们认为这项工作向着描述具有通量的非平衡不变测度迈出了重要一步。