内蕴平坦 Arzela-Ascoli 定理

度量几何中最有力的定理之一是 Arzela-Ascoli 定理，它为两个紧空间之间等度连续函数序列提供了连续极限。Gromov 以及 Grove-Petersen 将该定理推广到了定义域和值域变化的函数序列，其中定义域和值域分别在 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于紧极限空间。然而，当定义域和值域仅在内蕴平坦意义下收敛时，由于极限中点的可能消失，如此强大的定理不再成立。在本文中，证明了两个针对流形内蕴平坦收敛序列的 Arzela-Ascoli 定理：一个适用于定义域在内蕴平坦意义下收敛且具有固定值域的一致 Lipschitz 函数序列，另一个适用于空间在内蕴平坦意义下收敛的一致局部等距序列。此外，还针对此类空间序列中的点序列证明了一个基本的 Bolzano-Weierstrass 定理。另外，证明了当流形序列具有预紧的内蕴平坦极限时，该极限的度量完备化即为这些流形内部区域的 Gromov-Hausdorff 极限。本文最后一节描述了这些结果的应用及建议应用。