图与群的无限运动性和 2-可区分性

群$A$忠实地作用在集合$X$上，如果存在一种$X$的 2-着色不被$A$的任何非单位元保持，则称其为 2-可区分的；等价地，如果存在$X$的一个真子集具有平凡的集合稳定子。元素$a \in A$的运动性是$a$移动的$X$中点的数量，而群$A$的运动性是其非单位元的最小运动性。对于有限群$A$，运动引理指出，如果$A$的运动性足够大（具体而言至少为$2 \log_2 |A|$），则该作用是 2-可区分的。在许多$X$具有组合或代数结构的情况下，运动引理意味着$\text{Aut}(X)$在$X$上的作用在除有限个实例外的所有情况下都是 2-可区分的。我们证明了针对可数无限置换群的运动引理的无限版本，该版本指出无限运动性足以保证 2-可区分性。由此我们推导出若干结果，包括每个自同构群为可数无限的局部有限连通图都是 2-可区分的这一事实。虽然不能将运动引理推广到不可数置换群，但我们证明了具有无限运动性的 2-可区分置换群在具有无限运动性的群类中是稠密的。我们猜想运动引理的一个扩展版本，预计其适用于一类受限的不可数置换群，并以一系列开放性问题作为结尾。我们的结果对无限置换群的轨道等价性产生了推论。