基于 Raviart--Thomas enrichment 的任意单纯形网格上 inf-sup 稳定的 Scott--Vogelius 元对

本文考虑在任意形状正则单纯形网格上用 Scott--Vogelius 有限元空间对离散化 Stokes 方程。提出并分析了一种针对离散 inf-sup 条件稳定这些元对的新方法。其核心思想是用适当选取且显式给出的 Raviart--Thomas 气泡函数 enrich Scott--Vogelius 速度空间中阶数为 $k$ 的连续多项式。该方法受 [Li/Rui, IMA J. Numer. Anal, 2021] 启发，其中研究了 $k=1$ 的情形。所提方法具有压力鲁棒性，速度 $\boldsymbol{H}^1$ 协调且最优收敛，并通过一个小的 $\boldsymbol{H}(\mathrm{div})$ 协调修正使整体速度无散。对于 $k\ge d$（$d$ 为维数），该方法无参数。此外，证明了 Raviart--Thomas enrichment 的附加自由度以及所有非常数压力自由度均可凝聚，从而有效地得到一个压力鲁棒、inf-sup 稳定且最优收敛的 $\boldsymbol{P}_k \times P_0$ 格式。讨论了实现方面的若干内容，数值研究证实了分析结果。