面向出流边界的 Stokes 方程的 inf-sup 条件

inf-sup 条件是 Stokes 方程分析中的重要工具，尤其是在数值分析中。其通常形式表明，对于每一个压力 $p\in L^2(\Omega)\setminus \mathbb{R}$ (即平均值为零)，可以找到一个速度 $u\in H^1_0(\Omega)^d$，使得 $(div\,u,p)=\|p\|^2$ 且 $\|\nabla u\|\le c \|p\|$ 成立，其中 $c>0$ 对于 $u$ 和 $p$ 均独立。然而，如果我们考虑在部分边界 $\Gamma_N\subset\partial\Omega$ 上具有 Neumann 类型出流条件的域，inf-sup 条件无法按此形式使用，因为此时压力来自 $L^2(\Omega)$，不一定具有零均值。在本文中，我们推导了出流边界情况下的 inf-sup 条件。