诱导brace与Hopf Galois结构

设 $p$ 为素数，$n$ 为不被 $p$ 整除的整数，且使得每个阶为 $np$ 的群都有阶为 $p$ 的正规子群。（这尤其对 $p>n$ 成立。）我们证明阶为 $np$ 的左brace可由唯一的阶为 $p$ 的左brace与阶为 $n$ 的左brace的半直积得到。我们给出一种方法，从这些阶为 $n$ 的brace以及其乘法群到 $\mathrm{Z}_p^*$ 的某些态射类出发确定所有阶为 $np$ 的brace。由此我们推导出一个公式，用阶为 $n$ 的Galois扩张上阿贝尔型 $E$ 的Hopf Galois结构数给出阶为 $np$ 的Galois扩张上阿贝尔型 $\mathrm{Z}_p \times E$ 的Hopf Galois结构数。对于素数 $p\geq 7$，我们应用所得结果描述所有阶为 $12p$ 的左brace，并确定阶为 $12p$ 的Galois扩张上阿贝尔型的Hopf Galois结构数。