双偏斜 brace与Hopf Galois结构

我们定义双偏斜 brace 为带有两个群运算 $\star$ 与 $\circ$ 的集合 $G$，使得 $(G, \circ, \star)$ 是以 $(G, \star)$ 为加法群的偏斜 brace，同时也是以 $(G, \circ)$ 为加法群的偏斜 brace。若 $G$ 是偏斜 brace，则 $G$ 对应于任意以同构于 $(G, \circ)$ 的群为伽罗瓦群的域伽罗瓦扩张上类型 $(G, \star)$ 的 Hopf Galois 结构。若 $G$ 是双偏斜 brace，则 $G$ 也对应于以同构于 $(G, \star)$ 的群为伽罗瓦群的域伽罗瓦扩张上类型 $(G, \circ)$ 的 Hopf Galois 结构。存在许多非平凡例子。一个来源是满足 $A^3 = 0$ 的根理想环 $A$，其中一群为阿贝尔群而另一群不必为阿贝尔群。Bachiller 分类的 $p^3$ 次左 brace 当且仅当它们是根理想环时为双偏斜 brace。双偏斜 brace 的另一来源是任意义有限群的半直积，由此得到许多两群均非阿贝尔的例子，以及 Crespo、Rio 和 Vela 一个结果的偏斜 brace 证明：若 $G = H\rtimes J$ 是有限群的半直积，则以 $G$ 为伽罗瓦群的域伽罗瓦扩张具有类型 $H \times J$ 的 Hopf Galois 结构。