两种压缩感知算法性能保证的改进 RIP 界

迭代硬阈值 (IHT) 和压缩采样匹配追踪 (CoSaMP) 是两种主流的压缩感知算法，它们使用硬阈值算子进行信号恢复与逼近。这些算法恢复信号的性能保证主要在传感矩阵的受限等距常数（记为 $\delta_K$，其中 $K$ 为整数）小于区间 $(0,1)$ 内某个特定阈值的条件下进行分析。条件 $\delta_{K}< \delta^*$（其中 $\delta^* \leq 1$ 为某个常数）确保了特定算法成功恢复信号，被称为该算法性能保证的基于受限等距性质的界（RIP 界）。目前，IHT 保证恢复 $k$-稀疏信号的最佳已知 RIP 界为 $\delta_{3k}< 1/\sqrt{3}\approx 0.5774$，而 CoSaMP 保证恢复的界为 $\delta_{4k} < 0.4782$。该领域的一个基本问题是，这些理论结果能否进一步改进。本文旨在肯定地回答这一问题，并严格证明：IHT 性能保证的 RIP 界可显著改进至 $\delta_{3k} < (\sqrt{5}-1)/2 \approx 0.618$，而 CoSaMP 的界可改进并推进至 $\delta_{4k}< 0.5102$。这些改进是通过硬阈值算子的一个深层性质实现的。