基于信号空间匹配追踪的联合稀疏恢复

本文提出一种称为信号空间匹配追踪(SSMP)的新联合稀疏恢复算法。所提SSMP算法的核心思想是顺序探查联合稀疏向量的支撑集，以最小化到残差空间的子空间距离。我们的性能保证分析表明，若采样矩阵$\mathbf{A}$满足$\text{krank}(\mathbf{A}) \ge K+1$，则SSMP可在全行秩场景下精确重建任意行$K$-稀疏且秩为$r$的矩阵，这满足了确保精确恢复对$\mathbf{A}$的基本最小要求。我们还证明，若$\mathbf{A}$满足阶数为$L(K-r)+r+1$的限制等距性质(RIP)，且$$\delta_{L(K-r)+r+1} < \max \left \{ \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{K+\frac{r}{4}}+\sqrt{\frac{r}{4}}}, \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{K}+1.15 \sqrt{L}} \right \},$$其中$L$为每次迭代所选索引数，则SSMP至多经$K-r+\lceil \frac{r}{L} \rceil$次迭代保证精确重建。这意味着当$r$增大时，对RIP常数的要求变得不那么严格。此种行为看似自然，但在大多数传统方法中未见报道。我们进一步证明，若$r=1$，则通过运行超过$K$次迭代，SSMP的性能保证可改进为$\delta_{\lfloor 7.8K \rfloor} \le 0.155$。此外，我们证明在合适的RIP条件下，SSMP的重建误差由上界为常数倍的噪声功率所界定，这展示了SSMP在测量噪声下的稳定性。最后，通过大量数值实验，我们表明SSMP在无噪与有噪场景下均优于传统联合稀疏恢复算法。