广义KdV方程空间解析半径的改进代数下界

我们考虑广义Korteweg-de Vries（gKdV）方程的初值问题（IVP）\begin{equation} \begin{cases} \partial_tu+\partial_x^3u+\mu u^k\partial_xu=0, \,\\; x\in \mathbb{R}, \, t \in \mathbb{R},\\ u(x,0)=u_0(x), \end{cases} \end{equation} 其中 $u(x,\,t)$ 为实值函数，$u_0(x)$ 为实解析函数，$\mu=\pm 1$ 且 $k\geq 4$。我们证明若初值 $u_0$ 具有解析半径 $\sigma_0$，则存在 $T_0>0$ 使得解的空间解析半径在时间区间 $[-T_0, \, T_0]$ 内保持不变。在散焦情形，对 $k\geq 4$ 偶数，我们证明当局部解全局延拓时，则对任意 $T\geq T_0$，解析半径衰减不能快于 $cT^{-\left(\frac{2k}{k+4}+\epsilon\right)}$，其中 $\epsilon>0$ 任意小、$c>0$ 为常数。本工作结果改进了Bona等人在 [J. L. Bona, Z. Gruji\'c, H. Kalisch, Algebraic lower bounds for the uniform radius of spatial analyticity for the generalized KdV equation, Ann Inst. H. Poincar\'e, 22 (2005) 783--797] 中获得的结果。