广义 Benjamin 方程解析性半径的演化

本文我们考虑广义 Benjamin 方程的初值问题 \begin{equation}\label{Benj-IVP} \begin{cases} \partial_t u-l\mathcal{H} \partial_x^2u-\partial_x^3u+u^p\partial_xu = 0, \quad x,\; t\in \mathbb{R};\;\;,\; p\geq 1, \\ u(x,0) = u_0(x), \end{cases} \end{equation} 其中 $u=u(x,t)$ 为实值函数，$0<l<1$，$\mathcal{H}$ 为 Hilbert 变换。该模型由 T. B. Benjamin 引入(J. Fluid Mech. 245 (1992) 401--411)，描述了两流体系统中长波的单方向传播，其中密度较大的下层流体无限深，界面受表面张力作用。我们证明，与广义 Benjamin 方程相关的初值问题在实轴周围条带内解析的函数空间中的给定数据的局部解，随着时间演化继续保持解析，且不缩小条带宽度。我们还研究了空间解析性半径随时间的演化，并表明其可随时间推进而减小。最后，我们给出了空间均匀解析性半径随时间可能减小速率的代数下界。