修正 KdV 方程解析性半径的改进下界

我们研究了修正 Korteweg-de Vries 方程（mKdV）在非聚焦情形下的初始值问题（IVP）：\n\n\begin{equation*}\n\left\{\begin{array}{l}\n\partial_t u+ \partial_x^3u-u^2\partial_x(u) = 0, \quad x,t\in\mathbb{R}, \\\n u(x,0) = u_0(x), \end{array}\right\end{equation*}\n\n其中 $u$ 为实值函数，初始数据 $u_0$ 在 $\mathbb{R}$ 上解析且在空间变量中具有统一的解析半径 $\sigma_0$。众所周知，解 $u$ 在至少一段时间 $0<T_0\le 1$ 内保持相同的解析半径 $\sigma_0$。该局部结果于 [Nonlinear Differ. Equ. Appl. (2024), 31--68] 中通过证明 Gevrey 空间 $G^{\sigma, s}$ 中三次估计得到，其中 $s\geq \frac14$。解的全局时间行为和解析半径演化的代数下界也在作者的早期工作中研究[Nonlinear Differ. Equ. Appl. (2024), 31--68] 和 [J. Evol. Equ. 24 No. 42 (2024)] 中，通过构造 Gevrey 空间中几乎守恒量来完成，其中 $H^1$ 和 $H^2$ 的 Sobolev 正则性水平。本次研究旨在构造一种在以 $\cosh(\sigma|\xi|)$ 为权重函数的 Gevrey 空间中定义的新型几乎守恒律，并用以证明局部解 $u$ 可在全局时间内延拓，空间解析半径被下界为 $c T^{-\frac{1}{2}}$，其中 $T\geq T_0$。本文的结果是在 [J. Evol. Equ. 24 No. 42 (2024)] 中的作者之前工作的改进。