蕴涵 Zroupoid 与 Birkhoff 系统

一个代数 $A = \langle A, \to, 0 \rangle$，其中 $\to$ 是二元运算且 $0$ 是常数，若 A 满足恒等式：$(x \to y) \to z \approx ((z' \to x) \to (y \to z)')'$，其中 $x' := x \to 0$，以及 $0'' \approx 0$，则称为蕴涵 zroupoid（简称 I-zroupoid）。这些代数推广了 De Morgan 代数和带零的 $\lor$-半格。令 I 表示蕴涵 zroupoid 的簇。关于导致这些代数的动机的细节，我们请读者参阅 [San12]（或本文末尾提及的相关论文）。对 I 的子簇格结构的研究始于 [San12]，并在 [CS16a, CS16b, CS17a, CS17b, CS18a, CS18b, CS19] 和 [GSV19] 中持续进行。本文是这一系列论文的续作，致力于对蕴涵 zroupoid 理论做出进一步贡献。恒等式 (BR)：$x \land (x \lor y) \approx x \lor (x \land y)$ 称为 Birkhoff 恒等式。本文的主要目的是证明：若 A 是簇 I 中的代数，则导出代数 $A_{mj} := \langle A; \land, \lor \rangle$（其中 $a \land b := (a \to b')'$ 且 $a \lor b := (a' \land b')'$）满足 Birkhoff 恒等式。作为推论，我们刻画了导出代数 $A_{mj}$ 为 Birkhoff 系统的蕴涵 zroupoid A。由主要结果还可知，存在满足 Birkhoff 恒等式但不是双半格的双半群，这暗示了比 Birkhoff 系统更一般的概念，即满足 Birkhoff 恒等式的双半群“Birkhoff 双半群”。本文以一个关于 Birkhoff 双半群的开放问题作结。