由恒等式定义的数学结构

我们提出这样一种论点：公理化地赋予涉及运算的恒等式的结构之可能数量是有限的。对于具有二元运算且满足该运算的两个 n 次迭代之间的形式可约（待解释）恒等式的代数，我们证明此类代数的频率随着 n 趋于无穷而趋于零。证明通过对相应自由代数的表达式（字）进行适当排序与标记，并构造一系列以标记为项的表，来实现。这些表呈现出令人惊讶的对称性性质，用 Catalan 数及其划分表述。由定义恒等式与这些表，所有高于 n 阶的迭代都落入语义相等的等价类中。依赖于这些表的类数对所有 n = 3 阶代数（以及部分 n = 4 阶）进行了计算。某些类数是不变量，意指对同阶代数它们相等。我们考虑了具有任意元数的多个运算的代数。提出了依赖于结构同态的 Catalan 数的推广，并建立了相应的生成函数。作为例子，构造了一类刻画迭代形式构造的 skein 多项式。由于对所讨论恒等式的模型——同构与否的各种代数——不作区分，结果也可用具有该恒等式为符号的簇来表述。