蕴涵 Zroupoid 与结合型恒等式

一个代数 $\mathbf A = \langle A, \to, 0 \rangle$（其中 $\to$ 为二元运算、$0$ 为常数）称为蕴涵 zroupoid（简称 $\mathcal I$-zroupoid），若 $\mathbf A$ 满足恒等式：$(x \to y) \to z \approx [(z' \to x) \to (y \to z)']'$ 与 $0'' \approx 0$，其中 $x' : = x \to 0$，且 $\mathcal I$ 表示所有 $\mathcal I$-zroupoid 的簇。若满足 $x'' \approx x$ 与 $(x \to y')' \approx (y \to x')'$，则称一个 $\mathcal I$-zroupoid 为对称的。对称 $\mathcal I$-zroupoid 的簇记为 $\mathcal S$。在群oid 语言 $\langle \to \rangle$ 中，恒等式 $p \approx q$ 称为长度为 $3$ 的结合型恒等式，若 $p$ 与 $q$ 恰含 $3$ 个（不同的）变量（设为 x,y,z），并按以下两种分组方式之一分组：(1) $\star \to (\star \to \star)$ 与 (2) $(\star \to \star) \to \star$，其中 $\star$ 为变量的占位符。若 $\mathcal I$ 的一个子簇相对于 $\mathcal I$ 由单个长度为 $3$ 的结合型恒等式定义，则称其为长度为 $3$ 的结合型子簇。本文对所有长度为 $3$ 的 $\mathcal I$ 结合型子簇间的相互关系给出完整分析。我们在主要定理中证明，恰有 $8$ 个彼此互异的此类 $\mathcal I$ 子簇，并明确描述了它们在包含关系下构成的偏序集。作为主要定理的应用，我们推得簇 $\mathcal S$ 中恰有 $3$ 个互异的子簇，每个相对于 $\mathcal S$ 由单个长度为 $3$ 的结合型恒等式定义。