蕴涵 Zroupoid 中的半分配性与 Whitman 性质

2012 年，第二作者引入并研究了蕴涵 zroupoid 簇 $\mathcal{I}$，它推广了 De Morgan 代数和具有 $0$ 的 $\lor$-半格。代数 $\mathbf A = \langle A, \to, 0 \rangle$（其中 $\to$ 是二元运算，$0$ 是常数）被称为 \emph{蕴涵 zroupoid}（简称为 $\mathcal{I}$-zroupoid），如果 $\mathbf A$ 满足：$(x \to y) \to z \approx [(z' \to x) \to (y \to z)']'$，其中 $x' : = x \to 0$，且 $0'' \approx 0$。令 $\mathcal{I}$ 表示蕴涵 zroupoid 簇且 $\mathbf A \in \mathcal{I}$。对于 $x,y \in \mathbf A$，令 $x \land y := (x \to y')'$ 且 $x \lor y := (x' \land y')'$。在早先的一篇论文中，我们曾证明如果 $\mathbf A \in \mathcal{I}$，则代数 $\mathbf A_{mj} = \langle A, \lor, \land \rangle$ 是一个双半群。在本文中，我们将半分配性的概念从格推广到双半群，并证明对于每个 $\mathbf A \in \mathcal{I}$，双半群 $\mathbf A_{mj}$ 是半分配的。其次，我们将 Whitman 性质从格推广到双半群，并证明 $\mathcal I$ 的子簇 $\mathcal{MEJ}$（由恒等式 $x \land y \approx x \lor y$ 定义）满足 Whitman 性质。