通过正元素球面识别JBW*-代数

设 $\mathfrak{A}$ 和 $\mathfrak{B}$ 为具有投影格 $\mathcal{P} (\mathfrak{A})$ 和 $\mathcal{P} (\mathfrak{B})$ 的 JBW$^*$-代数，并设 $\Theta: \mathcal{P} (\mathfrak{A})\to \mathcal{P}(\mathfrak{B})$ 为一个序同构。我们证明，若 $\mathfrak{A}$ 不包含任何 $I_2$ 型直和项且 $\Theta$ 保持距离为 $1$ 的点，则 $\Theta$ 可扩展为从 $\mathfrak{A}$ 到 $\mathfrak{B}$ 上的 Jordan $^*$-同构。我们还证明：若 $\mathfrak{A}$ 和 $\mathfrak{B}$ 是两个 $I_2$ 型原子 JBW$^*$-代数，且 $\Theta: \mathcal{P} (\mathfrak{A})\to \mathcal{P}(\mathfrak{B})$ 保持距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的点，则 $\mathfrak{A}$ 与 $\mathfrak{B}$ 是 Jordan $^*$-同构的。此外，若 $\mathfrak{A}$ 和 $\mathfrak{B}$ 是两个一般的 JBW$^*$-代数，使得 $\mathfrak{A}$ 的 $I_2$ 型部分是原子的且 $\Theta$ 是一个等距映射，我们证明了 $\Theta$ 可延拓为从 $\mathfrak{A}$ 到 $\mathfrak{B}$ 上的 Jordan $^*$-同构。我们为Tingley问题在正球面上提供了一个肯定答案，表明若 $\mathfrak{A}$ 和 $\mathfrak{B}$ 是 JBW$^*$-代数且 $\mathfrak{A}$ 的 $I_2$ 型部分是原子的，则从 $\mathfrak{A}$ 的正范数为一元素集合 $S_{\mathfrak{A}^+}$ 到 $\mathfrak{B}$ 的正范数为一元素集合上的每个满射等距映射都可延拓为从 $\mathfrak{A}$ 到 $\mathfrak{B}$ 上的 Jordan $^*$-同构。我们证明了 JBW$^*$-代数中投影的度量刻画如下：若 $a$ 是 JBW$^*$-代数 $\mathfrak{A}$ 中的一个范数为一的正元素，则 $a$ 是投影当且仅当它满足双球面性质，即 $$\Big\{c \in S_{\mathfrak{A}^+} : \|c - b\| = 1 \; \text{对所有} \; b \in S_{\mathfrak{A}^+} \; \text{满足} \; \|b - a\| = 1\Big\} = \{a\}.$$