$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2$ 中具有常截面曲率的超曲面

本文中，我们对 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2$ 中具有常截面曲率的超曲面进行分类。通过应用所谓的清华大学原理（由前三位作者于 2013 年在清华大学首次发现），我们证明常截面曲率只能为 $\frac{1}{2}$，且由 Urbano 定义的积角函数 $C$ 恒为零。我们证明任意此类超曲面是 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2$ 中满足 $C=0$ 的极小超曲面的平行超曲面，并建立了所涉极小超曲面与著名的“sinh-Gordon 方程”之间的一一对应：$$(\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2})h =-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sinh(\sqrt{2}h).$$ 作为副产品，我们给出了 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2$ 中具有常平均曲率和常积角函数 $C$ 的超曲面的完整分类。