Dirichlet 特征标与 Peisert 型图上的超几何函数

对于素数 $p\equiv 3\pmod 4$ 与正整数 $t$，令 $q=p^{2t}$。阶为 $q$ 的 Peisert 图是以 $\mathbb{F}_q$ 为顶点集的图，其中当 $a-b\in\langle g^4\rangle\cup g\langle g^4\rangle$ 时 $ab$ 为边，$g$ 为 $\mathbb{F}_q$ 的本原元。本文中，我们对适当的 $n$ 构造了以交换环 $\mathbb{Z}_n$ 为顶点集的类似图，称之为 Peisert 型图并记为 $G^\ast(n)$。由于需要 $\mathbb{Z}_n$ 的单位群具有循环性，我们考虑 $n=p^\alpha$ 或 $2p^\alpha$，其中 $p\equiv 1\pmod 4$ 为素数，$\alpha$ 为正整数。对于素数 $p\equiv 1\pmod 8$，我们通过计算某些特征标和得到图 $G^\ast(p^{\alpha})$ 中三角形的个数。接下来，我们研究 $G^\ast(p^{\alpha})$ 中阶为 4 的团。为求 $G^\ast(p^{\alpha})$ 中阶为 4 的团的数量，我们首先引入以 Dirichlet 特征标为参数的超几何函数，然后将 $G^\ast(p^{\alpha})$ 中阶为 4 的团的数量用这些超几何函数表示。