持久同调有多少是拓扑学？自旋模型相变的定量分解

点云持久同调（PH）——对自旋位置点云计算 alpha 或 Rips 复合体——自 Donato 等人（2016）起在检测经典自旋模型相变方面得到广泛应用，后续研究将检测归因于持久图的拓扑内容。我们提出一个简单问题：PH 信号的多少是真正的拓扑学？我们引入 f_topo，用于分离任意 PH 统计量中由密度驱动与拓扑贡献，通过比较真实自旋配置与密度匹配的随机置换空模型。我们在 2D 伊辛模型（系统尺寸 L = 16-128，十个温度）和 Potts 模型（q = 3, 5）上进行研究，发现 H_0 统计量——总持久性、持久性熵、特征计数——有 94-100% 来自密度驱动（f_topo < 0.07）。密度匹配的随机置换空模型在相同的检测位置和可比峰值高度下检测到 T_c，表明仅靠密度即可实现相变检测。然而，H_1 统计量部分具有拓扑性：其拓扑比例随系统尺寸增长呈 delta(TP_{H_1}) ~ L^{0.53} 关系，并遵循有限尺寸缩放崩塌 delta(T, L) = L^{0.53} g(tL^{1/nu})，其崩塌质量 CV = 0.27。最长持久栏 strongly 拓扑（f_topo > 1），并随相关长度尺度缩放。尺度分辨分析揭示，随着 L 增大，拓扑超额从大尺度特征转向小尺度特征。我们提议 TDA-for-phase-transitions 社区采用随机置换空模型作为标准做法，同时在寻求真正拓扑信息时应优先使用 H_1 而非 H_0 统计量。