临界点处的拓扑能隙：标度指数 d+η、普适性与适用范围

拓扑能隙 $\Delta = TP_{H_1}^{real} - TP_{H_1}^{shuf}$ ——多数自旋 alpha 复形相对于密度匹配零模型的超额 $H_1$ 总持续度——编码了自旋模型中的临界关联。我们建立了有限尺寸标度：$\Delta(L,T) = A L^{d+\eta} G_-(L|t/T_c|)$，其中 $G_-(x) \sim (1+x/x_0)^{-(1+\beta/\nu)}$。对于二维伊辛模型，$\alpha = 2.249 \pm 0.038$，与 $d+\eta = 9/4$ 在 $0.03\sigma$ 范围内一致；$G_-$ 指数 $\gamma = 1.089 \pm 0.077$ 与 $1+\beta/\nu = 9/8$ 一致（$\Delta R^2 < 10^{-5}$）。对于二维 Potts $q=3$，$L$ 最大为 1024，$\alpha = 2.272 \pm 0.024$（与 $d+\eta = 2.267$ 偏差 $0.2\sigma$），包含两项标度修正（$R^2 = 0.9999$）。$G_-$ 指数 $\gamma = 1.114$（68% 置信区间 $[1.053, 1.173]$）与 $1+\beta/\nu = 17/15$ 一致。适用范围边界：该定律对二维 Potts $q=4$ 不成立（$\alpha = 2.347 \pm 0.017$，与 $d+\eta = 5/2$ 偏差 $9.3\sigma$），其中对数修正阻止收敛；对原始三维伊辛模型也不成立（与 $d+\eta$ 偏差 $4\sigma$），但密度归一化 $\Delta/|M|^{1/2}$ 恢复了 $\alpha = 3.06 \pm 0.04$（$0.6\sigma$）。该框架对一阶相变、BKT 相变和渗流不成立。判据：当标度修正为代数型（$\omega > 0$）时 $\alpha = d+\eta$ 成立，但当对数型（$\omega \to 0$）时不成立。