自由选择 Flood-It 的代价有多糟糕？

Fixed-Flood-It 与 Free-Flood-It 是图上的组合问题，推广了一款非常流行的名为 Flood-It 的谜题。这两个问题都由重新着色的移动组成，其目标是尽快产生一个单色（“被淹没”）的图。它们的区别在于，在 Free-Flood-It 中，玩家拥有在每一步选择要操作的顶点的额外自由。在本文中，我们研究这种自由如何影响问题的复杂度。结果表明，这种自由在某种意义上是糟糕的。我们证明，Fixed-Flood-It 中某些平凡可解的情况对于 Free-Flood-It 变得难解。我们还证明，Fixed-Flood-It 中某些可解的情况对于 Free-Flood-It 仍然可解，但需要相当复杂的论证。我们最后给出一些连接或区分这两个问题的组合性质。特别地，我们证明 Fixed-Flood-It 的最优解长度总是至多 Free-Flood-It 的两倍，并且这是紧的。