扩大肯定行动问题：图的混合数与积分着色

考虑一个顶点被染成两种颜色之一（例如黑色或白色）的图。若白色顶点至少有与之相同数量的黑色邻居，则称为集成的；黑色顶点亦是如此。若整个着色方案中每个顶点都集成，则称为集成着色。图论中的经典练习，称为肯定行动问题，就是证明每个有限简单图都存在集成着色。解决方案可以简洁地概括为：“最大化平衡边的数量”，即连接不同颜色邻居的边。然而，并非所有集成着色方案都具有最大可能的平衡边数。在本文中，我们对完全图、二分图、路径和循环的集成着色进行特征化和枚举。我们还推导了这些图族中所有集成着色方案的混合数（平衡边数）的分布和极值。对于路径和循环，我们使用准幂方法为概率生成函数来证明随机集成着色方案混合数的中心极限定理。最后，我们通过二阶矩方法获得固定图上集成着色方案数量的上界。也获得了正则图上集成着色方案数量的专门上界。