洪水填充游戏的复杂性

我们研究了流行的单人组合游戏 Flood-It 的复杂性。在该游戏中，玩家面对一个 n×n 的瓷砖棋盘，每个瓷砖被分配了 c 种颜色之一。目标是通过尽可能短的洪水填充操作序列使所有瓷砖的颜色相同。在标准版本中，一次洪水填充操作包括玩家选择一种颜色 k，然后将与左上角瓷砖相连的单色区域中的所有瓷砖颜色更改为 k。执行此操作后，已经属于所选颜色 k 的相邻区域也将连接起来，从而扩展棋盘的单色区域。我们证明，对于 c≥3，找到最少的洪水填充操作次数是 NP 难的，并且即使玩家可以从棋盘上的任何位置执行洪水填充操作，这一结论仍然成立。然而，我们表明，对于 c=2，这种“自由”变体属于 P 类问题。我们还证明，对于无界数量的颜色，当棋盘高度至少为 3 时，Flood-It 仍然是 NP 难的，但对于高度为 2 的棋盘则属于 P 类问题。接下来，我们展示了如何推导出 c-1 近似算法和随机化的 2c/3 近似算法，并且除非 P=NP，否则不存在独立于 c 的多项式时间常数因子近似算法。然后，我们研究了“最苛刻”的 n×n 棋盘（需要最多步数的棋盘）需要多少步，并表明该步数增长速度为 Θ(n*c^0.5)。最后，我们考虑了瓷砖颜色随机选择的棋盘，并表明对于 c≥2，以高概率淹没整个棋盘所需的步数为 Ω(n)。