可变处理器杯游戏

在 $p$ 个处理器上调度任务以使任何任务都不会落后太多的这一问题，常被描述为一个关于杯子和水的游戏。在 $n$ 个杯子的 $p$ 处理器杯游戏中，有两名玩家，一个注水者和一个倒空者，轮流从一组 $n$ 个杯子中添加和移除水。在每一轮中，注水者向杯子中加入 $p$ 单位的水，每个杯子至多放置 $1$ 单位水，然后倒空者选择 $p$ 个杯子从中移除至多 $1$ 单位的水。倒空者的目标是最小化积压量，即最满杯子的高度。$p$ 处理器杯游戏已在许多不同背景下被研究，可追溯到 1960 年代末。过去的所有工作共享一个共同假设：$p$ 是固定的。本文开启了当可用处理器数量 $p$ 随时间变化时所发生情况的研究，由此得到我们称之为\emph{可变处理器杯游戏}的问题。引人注目的是，可变处理器杯游戏的最优界与其经典对应物截然不同。虽然 $p$ 处理器杯的最优积压量为 $\Theta(\log n)$，可变处理器游戏的最优积压量为 $\Theta(n)$。此外，存在一种高效的注水策略，可在拟多项式时间内针对任何确定性倒空策略产生 $\Omega(n^{1 - \epsilon})$ 的积压量。我们进一步表明，随机化的直接运用无法用于帮助倒空者。特别地，对于任意正常数 $\Delta$，以及任意 $\Delta$-贪心类随机化倒空算法 $\mathcal{A}$，存在一种注水策略可在拟多项式时间内针对 $\mathcal{A}$ 实现 $\Omega(n^{1 - \epsilon})$ 的积压量。