经典多处理器水杯游戏中最优积压的达成

在 $n$ 个杯子的 $p$ 处理器水杯游戏的每一步中，填充者将至多 $p$ 单位的水分配到各杯中，仅受限于任一杯接收的水不超过 $1$ 单位；随后清空者从 $p$ 个杯中各移除至多 $1$ 单位的水。为清空者设计使积压（即最满杯的高度）最小化的策略，对于处理器调度、网络中的缓冲管理、服务质量保证以及去均摊等应用十分重要。我们证明贪心算法（即清空最满杯算法）对任意 $p \ge 1$ 均可达到积压 $O(\log n)$。这解决了 $p > 1$ 时一个长期存在的开放问题，并且只要 $n \ge 2p$ 便是渐近最优的。若填充者为遗忘型对手，则我们证明存在一种随机化清空算法，可在 $2^{\operatorname{polylog}(n)}$ 步内以 $1 - 2^{-\operatorname{polylog}(n)}$ 的概率达到积压 $O(\log p + \log \log n)$。当 $n$ 相对于 $p$ 足够大时，已知此为渐近最优。该随机化算法的分析亦可重新解释为对确定性贪心算法的平滑分析。此前，对于 $p > 1$ 唯一已知的积压界，以及对于任意 $p$（包括 $p = 1$ 时）唯一已知的随机化保证，均需借助资源扩增，即填充者每步至多分配 $p(1 - \epsilon)$ 单位水，而清空者随后被允许从 $p$ 个杯中各移除 $1 + \delta$ 单位水，其中某些 $\epsilon, \delta > 0$。