可变处理器杯游戏的最优时间-积压权衡

$\emph{p}$处理器杯游戏是一个经典且被广泛研究的调度问题，刻画了一台$p$处理器机器必须随时间将任务分配给处理器，以确保任何单个任务都不会落后太多的情形。该问题被形式化为一个多轮博弈，其中两个玩家——填充者（为任务分配工作）和清空者（调度任务）——相互竞争。清空者的目标是最小化积压，即任何任务的最大未完工作量。最近，Kuszmaul和Westover（ITCS, 2021）提出了$\emph{可变处理器杯游戏}$，考虑同样的问题，只是玩家可用资源量（即处理器数$p$）在博弈轮次间波动。他们表明这一看似微小的修改从根本上改变了博弈动态：固定$p$处理器博弈中的最优积压为$\Theta(\log n)$且与$p$无关，而可变处理器博弈中的最优积压为$\Theta(n)$。然而，后一结果仅已知适用于具有$\emph{指数级}$轮次的博弈，且对于较短博弈中时间与积压的最优权衡仍是一个开放问题。本文建立了可变处理器杯游戏中时间与积压间的紧权衡曲线。重要的是，我们证明对于包含$t$轮次的博弈，最优积压为$\Theta(n)$当且仅当$t \ge \Omega(n^3)$。我们的技术也使我们能解决关于可变处理器杯游戏在超越最坏情况分析设定下行为的其他若干开放问题。