非对称性如何助力缓冲管理：在杯子游戏中实现最优尾部大小

在 $n$ 个杯子上的杯子游戏是一种包含两个玩家（填充者和清空者）的多步游戏。每一步，填充者在各杯间分配 $1$ 单位水，然后清空者选择一个杯子从中移除（至多）$1$ 单位水。清空者可能希望最小化的目标函数有多种。其中最强保证之一是最小化尾部大小，其定义为装水量为 $2$ 或更多的杯子数量。一个简单的下界构造表明，确定性清空算法的最优尾部大小为 $\Theta(n)$。我们提出一种简单的随机化清空算法，在 $n$ 步中以高概率实现尾部大小 $\tilde{O}(\log n)$（步数为 $\operatorname{poly} n$）。此外，我们证明该结果在双对数因子范围内是紧的。我们还将结果扩展到多处理器杯子游戏，在 $p$ 个处理器上以 $n$ 中高概率实现尾部大小 $\tilde{O}(\log n + p)$。我们表明，对于任何实现多项式有界积压的清空算法，其对 $p$ 的依赖近乎最优。一个自然的问题是，我们的结果能否扩展为适用于任意长游戏的永续保证。我们给出一个下界构造，表明任何单调无记忆清空算法都无法在尾部大小或相关目标函数积压上实现永续保证。另一方面，我们表明即便极少量（即 $1 / \operatorname{poly} n$）的资源增强也足以克服该障碍。