批量中的平衡分配：双选择之塔

在平衡分配中，目标是将$m$个球放入$n$个箱子中，以最小化差距（最大负载与平均负载之差）。One-Choice过程将每个球放入独立均匀随机采样的箱子中。Two-Choice过程将球放入两个采样箱子中负载较小者。最后，$(1+\beta)$-过程混合了这些过程，即每个球以概率$\beta\in(0,1)$使用Two-Choice分配，否则使用One-Choice。尽管Two-Choice在顺序设置下最优，但在并行环境中实践中观察到其表现不佳，因为负载信息可能过时。继[BCEFN12]之后，我们研究这样一种并行设置：球以大小为$b$的批次分配，同一批次内的球采用相同策略并基于相同负载信息分配。对于小批量大小$b\in[n,n\log n]$，[LS22a]表明Two-Choice在具有常数次采样的所有过程中实现了渐近最优差距。本文我们关注更大的批量大小$b\in[n\log n,n^3]$。[LS22c]证明Two-Choice导致$\Theta(b/n)$的差距。作为主要结果，我们证明若以适当选择的$\beta$运行$(1+\beta)$-过程（事实上该结果对更大一类过程成立），差距可降至$O(\sqrt{(b/n)\cdot\log n})$。这不仅证明了Two-Choice并非最佳（导致此前轻负载箱上形成“塔”）的现象，也表明混合两种过程（One-Choice与Two-Choice）所得过程的差距渐近小于两者各自。我们还推导了任何分配过程的匹配下界$\Omega(\sqrt{(b/n)\cdot\log n})$，表明上述$(1+\beta)$-过程渐近最优。