带噪声选择的平衡分配

我们考虑将$m$个球(任务)分配到$n$个箱(服务器)中。在标准双选择(Two-Choice)过程中，在每一步$t=1,2,\ldots,m$我们首先抽样两个随机选择的箱，比较它们的负载然后将一个球放入负载较小的箱。众所周知，对于任意$m\geq n$，这导致间隙(最大负载与平均负载之差)为$\log_2\log n+\Theta(1)$(以高概率)。在本工作中，我们考虑不同带噪声负载比较设置下的双选择。一个关键设置涉及一个功率受某阈值$g\in\mathbb{N}$限制的自适应敌手。在每一步，该敌手可确定任意负载差至多为$g$的两个箱之间负载比较的结果，而如果负载差大于$g$，则比较正确。对于此对抗设置，我们首先证明对于任意$m \geq n$，间隙以高概率为$O(g+\log n)$。然后通过精细化分析我们证明若$g\leq\log n$，则对于任意$m \geq n$间隙为$O(\frac{g}{\log g}\cdot\log\log n)$。对于常数$g$，这推广了[BCSV06, TW14]关于双选择过程的重负载分析，并确立即使“负载相近”箱间的负载比较有误，渐近地相同的间隙界仍成立。最后，我们以紧下界补充这些上界，其建立了关于参数$g$如何影响间隙的有趣相变。该分析也适用于带过时与延迟信息的设置。例如，对于[BCEFN12]中球以大小$b=n$的连续批次分配的设罝，我们给出改进且紧的间隙界$\Theta(\frac{\log n}{\log\log n})$。该界也扩展至一定范围的$b$值，并适用于一种松弛设置，其中箱的报告负载可为前$b$步中的任意负载值。