异构桶下的平衡分配：内存的力量

我们考虑将$m$个球(任务)分配到$n$个桶(服务器)中。在标准的两选择过程中，在每一步$t=1,2,\ldots,m$，我们首先均匀随机地采样两个桶，并将一个球放入负载最小的桶中。众所周知，对于任意$m \geq n$，这导致(最大负载与平均负载之差)间隙为$\log_2 \log n + \Theta(1)$(以高概率)。在本工作中，我们考虑Memory过程[Mitzenmacher, Prabhakar and Shah 2002]，其中每一步我们仅采样一个桶，但可访问一个能存储一个桶位置的缓存。Mitzenmacher、Prabhakar和Shah证明了在轻负载情形($m = n$)下，Memory过程达到$\mathcal{O}(\log \log n)$的间隙。我们以两种方式扩展Mitzenmacher等人的设定：首先允许球数$m$任意，包含具有挑战性的重负载情形$m \geq n$。其次，我们遵循Wieder[Wieder 2007]的异构桶模型，其中桶的采样分布可偏置至某个任意乘法常数。有些令人惊讶地，我们证明即使在此设定下，Memory过程仍达到$\mathcal{O}(\log \log n)$的间隙界。这与两选择(或任意$d=\mathcal{O}(1)$的$d$选择)过程形成鲜明对比，已知后者间隙随$m \rightarrow \infty$发散[Wieder 2007]。进一步，我们证明对于任意独立于$m$(但可能依赖于$n$)的采样分布，Memory过程的间隙可界定为独立于$m$。最后，我们在另一个放宽设定(具有异构(加权)球且缓存仅能维持两步)下证明了Memory的紧间隙界$\mathcal{O}(\log n)$。