不完全信息下的平衡分配：两次查询的力量

我们考虑将 $m$ 个球分配到 $n$ 个箱子中且信息不完全的情形。在经典的两选择（Two-Choice）过程中，一个球首先查询两个随机选择的箱子的负载，然后被放入负载最小的箱子。在我们的设定中，每个球同样抽样两个随机箱子，但只能通过发送形如“负载是否至少为中位数？”或“负载是否至少为 100？”的二元查询来估计箱子的负载。对于轻载情形 $m=O(n)$，Feldheim 和 Gurel-Gurevich（2021）证明了使用一次查询可达到 $O(\sqrt{\log n/\log \log n})$ 的最大负载，并提出了对于任意 $m = \Omega(n)$ 是否可能达到 $m/n+O(\sqrt{\log n/\log \log n})$ 最大负载的问题。在本工作中，我们通过证明对于固定的 $m=\Theta(n \sqrt{\log n})$ 有下界 $m/n+\Omega( \sqrt{\log n})$，以及对依赖于所用策略的某个 $m$ 有下界 $m/n+\Omega(\log n/\log \log n)$，解决了该开放问题。我们以关于多次查询的正面结果补充这一负面结果。特别地，我们证明对每个所选箱子仅使用两次二元查询，存在一种遗忘策略可确保对于任意 $m \geq 1$ 最大负载为 $m/n+O(\sqrt{\log n})$。进一步，对于任意数量的 $k = O(\log \log n)$ 次二元查询，最大负载的上界改进为对任意 $m \geq 1$ 为 $m/n + O(k(\log n)^{1/k})$。此外，这一 $k$ 次查询的结果蕴含（i）Peres 等人（2015）引入的 $(1+\beta)$-过程的新界，（ii）稠密扩张图上的图平衡分配过程的新界，以及（iii）两选择过程达到的最大负载 $m/n+O(\log \log n)$ 的界，包括 Berenbrink 等人（2006）导出的重载情形 $m=\Omega(n)$。我们证明的一个新颖之处是使用多个超指数势函数，这可能在未来工作中发挥作用。