最小积压问题

我们研究最小积压问题 (MBP)。这一在线问题出现在传感器网络等场景中。我们重点关注 MBP 的两个主要变体。离散 MBP 是在图 $G=(V,E)$ 上进行的两人博弈。玩家最初位于图的一个顶点上。在每个时间步，对手将总共一个单位的水倒入位于图顶点上的杯子中，任意分配水量。随后，玩家从当前顶点移动到相邻顶点并清空该处的杯子。玩家的目标是最小化积压，即任何时刻任何杯子中的最大水量。几何 MBP 是 MBP 的连续时间版本：杯子是二维平面上的点，对手以恒定速率连续注水，玩家在平面上以单位速度移动。同样，玩家的目标是最小化积压。我们表明，任何 MBP 算法的竞争比下界为 $\Omega(D)$，其中 $D$ 是图的直径（对于离散 MBP）或点集的直径（对于几何 MBP）。因此，我们专注于确定一种玩家策略，以保证积压绝对值的统一上界。对于积压绝对值，存在 $\Omega(D)$ 的平凡下界，而 Dietz 和 Sleator 的去摊销分析给出了 $N$ 个杯子的 $O(D\log N)$ 上界。我们的主要结果是几何 MBP 的紧上界：我们证明存在一种玩家策略，能保证 $O(D)$ 的积压，且与杯子数量无关。