用于平均报酬博弈中最优策略合成的更快速 O(|V|^2|E|W) 时间能量算法

本研究加强了平均报酬博弈（\MPG{s}）与能量博弈（EG{s}）之间的联系。首先，我们提出了一种更快速的 $O(|V|^2|E|W)$ 伪多项式时间和 $\Theta(|V|+|E|)$ 空间的确定性算法，用于求解 \MPG{s} 中的值问题和最优策略合成。这将先前已知的伪多项式时间复杂度的最佳估计改进为：$$O(|E|\log |V|) + \Theta\Big(\sum_{v\in V}\texttt{deg}_{\Gamma}(v)\cdot\ell_{\Gamma}(v)\Big) = O(|V|^2|E|W),$$ 其中 $\ell_{\Gamma}(v)$ 计算在重加权 \EG{s} 上的特定值迭代序列中，特定能量提升算子 $\delta(\cdot, v)$ 应用于任意 $v\in V$ 的次数；$\texttt{deg}_{\Gamma}(v)$ 是 $v$ 的度。这显著优于先前已知的伪多项式时间估计，即 $\Theta\big(|V|^2|E|W + \sum_{v\in V}\texttt{deg}_{\Gamma}(v)\cdot\ell_{\Gamma}(v)\big)$ \citep{CR15, CR16}，因为伪多项式性现在被限制为仅依赖于 $\ell_\Gamma$。其次，我们进一步探讨了 \MPG{s} 中的最优位置策略（OPSs）与重加权 \EG{s} 中的小能量进度测度（SEPMs）之间的关系。观察到所有 OPSs 的空间 $\texttt{opt}_{\Gamma}\Sigma^M_0$ 在重加权 \EG{s} 中允许基于极值 SEPMs 的唯一完备分解。这指出了我们所说的“与 $\texttt{opt}_{\Gamma}\Sigma^M_0$ 关联的能量格 $\mathcal{X}^*_{\Gamma}$”。最后，提供了一种伪多项式总时间的递归过程，用于枚举（无重复）$\mathcal{X}^*_{\Gamma}$ 的所有元素，并计算 $\texttt{opt}_{\Gamma}\Sigma^M_0$ 的相应划分。