平均报酬博弈中最优位置策略的能量结构

本文研究了平均报酬博弈（MPG）中最优位置策略（OPS）的结构方面问题，旨在理解 MPG 中的 OPS 与重加权能量博弈（EG）中的小能量进度测度（SEPM）之间的关系。首先，我们观察到所有 OPS 的空间 $\texttt{opt}_{\Gamma}\Sigma^M_0$ 在重加权 EG 中允许基于所谓的极值 SEPM 进行唯一完备分解；这指出了我们所谓的 $\texttt{opt}_{\Gamma}\Sigma^M_0$ 的“能量格 $\mathcal{X}^*_{\Gamma}$”。其次，我们提出了一种拟多项式总时间递归过程，用于枚举（无重复）$\mathcal{X}^*_{\Gamma}$ 的所有元素，并计算 $\texttt{opt}_{\Gamma}\Sigma^M_0$ 的相应划分。我们观察到相应的递归树定义了一个附加的格 $\mathcal{B}^*_{\Gamma}$，其元素是某些子博弈 $\Gamma'\subseteq \Gamma$，我们称之为基本子博弈。给定 MPG $\Gamma$ 的极值 SEPM 与 $\Gamma$ 的基本子博弈的最小 SEPM 一致；因此，$\mathcal{X}^*_{\Gamma}$ 是包含且仅包含 $\Gamma$ 的基本子博弈的所有最小 SEPM 的能量格。所提出的针对 $\mathcal{B}^*_{\Gamma}$ 和 $\mathcal{X}^*_{\Gamma}$ 的枚举复杂度为 $O(|V|^3|E|W |\mathcal{B}^*_{\Gamma}|)$ 总时间和 $O(|V||E|)+\Theta\big(|E| \mathcal{B}^*_{\Gamma}|\big)$ 工作空间。最后，我们构造了一个 MPG $\Gamma$，使得 $|\mathcal{B}^*_{\Gamma}| > |\mathcal{X}^*_\Gamma|$，这证明了 $\mathcal{B}^*_{\Gamma}$ 和 $\mathcal{X}^*_\Gamma$ 不同构。