针对确定性 MDP、2VPI 可行性及折扣全点对最短路径的改进强多项式算法

我们重新研究寻找确定性马尔可夫决策过程（DMDP）最优策略的问题，以及一个密切相关的问题：检验具有 $m$ 个线性不等式、$n$ 个实变量且每个不等式至多含两个变量的系统（2VPI）的可行性。我们给出一个随机化权衡算法，求解这两个问题，并在任意参数 $h\in [1,n]$ 下以 $\tilde{O}(n^2/h+m)$ 空间、$\tilde{O}(nmh+(n/h)^3)$ 时间运行。特别地，使用亚二次空间时，我们得到 $\tilde{O}(nm+n^{3/2}m^{3/4})$ 运行时间，相对于所有已知的非稠密实例（$m=O(n^{2-\epsilon})$）上界均有多项式因子改进。此外，使用线性空间时，我们匹配了 Cohen 和 Megiddo [SICOMP'94] 所需 $\tilde{\Theta}(n^2+m)$ 空间的随机化 $\tilde{O}(nm+n^3)$ 时间界。另外，我们针对 Madani 等人 [TALG'10] 提出的折扣全点对最短路径问题给出新算法，该问题在 DMDP 上扩展了可选终止顶点。对于统一折扣因子情形，我们给出确定性算法，运行时间为 $\tilde{O}(n^{3/2}m^{3/4})$，相比 Madani 等人的随机化界 $\tilde{O}(n^2\sqrt{m})$ 有显著改进。