稠密实例下最小费用流、MDP 与 $\ell_1$ 回归的近线性时间算法

本文给出求解具有双边约束的线性规划的新随机算法，其运行时间有所改进。在 $n$ 顶点 $m$ 边图上的最小费用流问题的特例中，其费用与容量为整数且多项式有界，我们得到一种随机方法，可在 $\tilde{O}(m+n^{1.5})$ 时间内求解该问题。这改进了先前最佳的 $\tilde{O}(m\sqrt{n})$ 运行时间（Lee-Sidford 2014），并且在单位容量最大流的特例中，对于足够稠密的图，改进了先前最佳的 $m^{4/3+o(1)}$（Liu-Sidford 2020, Kathuria 2020）与 $\tilde{O}(m\sqrt{n})$（Lee-Sidford 2014）运行时间。对于具有 $n$ 列 $m$ 行的矩阵上的 $\ell_1$ 回归，我们得到一种随机方法，可在 $\tilde{O}(mn+n^{2.5})$ 时间内计算 $\epsilon$ 近似解。由此得到一种随机方法，可在 $\tilde{O}(S^2A+S^{2.5})$ 时间内计算具有 $S$ 个状态、每状态 $A$ 个动作的折扣马尔可夫决策过程（MDP）的 $\epsilon$ 最优策略。这些方法改进了先前依赖于问题参数 polylogarithmic 的最佳运行时间，后者分别为 $\tilde{O}(mn^{1.5})$（Lee-Sidford 2015）与 $\tilde{O}(S^{2.5}A)$（Lee-Sidford 2014, Sidford-Wang-Wu-Ye 2018）。为获得该结果，我们引入了两个具有独立意义的新算法工具。首先，我们设计了一种新的通用内点法，用于求解具有双边约束的线性规划，其结合了（Lee-Song-Zhang 2019, Brand et al. 2020）的技术，以获得迭代次数接近较小维度平方根的鲁棒随机方法。其次，为实现该方法，我们提供了动态数据结构，用于高效维护 Lewis 权重变体的近似，Lewis 权重是矩阵的基本重要性度量，其推广了杠杆分数与有效电阻。