无限维 Hopf 代数的 Hopf 逻辑代数

我们考虑如 \cite{Ko} 中的“Hopf 逻辑（Hopfological）”技术，但针对无限维 Hopf 代数，并假设其为 co-Frobenius。特别地，$H=k[{\mathbb Z}]\#k[x]/x^2$ 是首个例子，其协表示范畴为微分分次向量空间。受此例启发，我们为任意 co-Frobenius 代数定义“同调函子”（我们证明其是同调的），系数取于 $H$-余模中，当 $H=k[{\mathbb Z}]\#k[x]/x^2$ 时恢复复形的通常同调。另一个简单的 co-Frobenius Hopf 代数例子给出“混合复形”范畴，且我们（通过计算一例）看到该同调理论与循环同调不同，尽管存在类似于 SBI-序列的长正合序列。最后，由于我们有一个张量三角范畴，其 $K_0$ 是一个环，我们证明了 $K_0$ 的“局部化正合序列的末段”，使我们能够计算或描述某些例子族的 $K_0$，从而阐明利用此技术可范畴化何种环。