Hopf 形式与 Hopf-Galois 理论

设 $K$ 为 $\Q$ 的有限域扩张，$N$ 为以自同构群 $F=\Aut(N)$ 为自同构群的有限群。R. Haggenmüller 与 B. Pareigis 已证明存在双射 $$\Theta: {\mathcal Gal}(K,F)\rightarrow {\mathcal Hopf}(K[N])$$ 从 $K$ 的 $F$-Galois 扩张的集合映到群环 $K[N]$ 的 Hopf 形式的集合。对于 $N=C_n$（$n\ge 1$）、$C_p^m$（$p$ 为素数，$m\ge 1$）以及 $N=D_3,D_4,Q_8$，我们证明 $\Q[N]$ 容许一个绝对半单的 Hopf 形式 $H$，并找出满足 $\Theta (L)=H$ 的 $L$。此外，若 $H$ 是由 Galois 扩张 $E/K$ 上的 Hopf-Galois 结构给出的 Hopf 代数，我们展示了在某些条件下如何构造 $H$ 在 $\Theta$ 下的原像。