余交换 Hopf 代数的 Hopf 公式

Takeuchi 首先描述的余代数与 Hopf 代数之间的伴随关系,允许人们证明余交换 Hopf 代数的半 Abel 范畴相对于裂扩张类 $\mathcal{E}$ 具有足够的 $\mathcal{E}$-投射对象。然后可以证明,对于任何余交换 Hopf 代数,存在一个弱 $\mathcal{E}$-泛正规(=中心)扩张。这一事实允许人们应用范畴 Galois 理论的方法对正规 $\mathcal{E}$-扩张进行分类,并以广义 Hopf 公式的形式提供余交换 Hopf 代数基本群的明确描述。此外,对于任何裂扩张,我们在同调中关联了一个 5 项正合序列,该序列可被视为群论中经典 Stallings-Stammbach 正合序列的 Hopf 理论类似物。