自治伪幺半群的 Hopf 模与幺半中心

本文在自治映射伪幺半群（autonomous map pseudomonoids）的框架下发展了 Hopf 代数理论的部分内容。我们重点关注 Hopf 模以及中心（Centre）或 Drinfel'd 双代数。若 $A$ 是幺半双范畴 \M 中的映射伪幺半群，则 $A$ 的 Hopf 模范畴的类比是 $\mathbf{Hom}(\M^{\mathrm{op}},\mathbf{Cat})$ 中某个单子（monad）的 Eilenberg-Moore 构造。我们通过将 2-范畴在 Eilenberg-Moore 对象下的完备性扩展为 $\mathbf{Bicat}$ 上的三范畴自同态，研究了该概念的内部化（称为 Hopf 模构造）的存在性。我们的主要结果是：$A$ 存在左对偶化（即 $A$ 是左自治的）与 Hopf 模结构定理的类比成立之间存在等价性。在此情况下，$A$ 的 Hopf 模构造总是存在。我们利用这些结果研究了左自治映射伪幺半群的松弛中心（lax centre）。我们证明了松弛中心是 $A$ 上某个单子的 Eilenberg-Moore 构造（若其中一个存在，则另一个也存在）。若 $A$ 同时也是右自治的，则松弛中心等于中心。我们考察了 \V-模双范畴和 \V-余模双范畴的实例，并将余拟-Hopf 代数 $H$ 的 Drinfel'd 双代数作为 $H$ 的中心得出。