高基数曲面上测地流动的同伦最小测度

我们研究正定自治拉格朗日系统的同伦最小测度。同伦最小测度是在其同伦类中最小化作用量的测度，而经典最小测度(马瑟测度)是在其同伦类中最小化作用量的测度。同伦最小测度更为一般，它们不一定是同伦作用量的最小化者。然而，其中一些可以通过在有限覆盖空间上提升经典测度来获得。我们将这种有限覆盖的思想应用于高基数曲面上的测地流动。设$(M,G)$为一个基数$g>1$的紧闭曲面，其中$G$是$M$上的完整黎曼度量。考虑正定自治拉格朗日函数$L(x,v)=G_x(v,v)$，其拉格朗日系统$\phi_t: TM\rightarrow TM$即为$TM$上的完整测地流动。我们证明，对于每个支持于非平凡简单闭合周期轨道上的同伦最小 ergodic 测度$\mu$，必存在一个有限覆盖空间$M'$，使得$TM'$上每个ergodic原像$\mu$都是$TM'$上拉格朗日系统在经典马瑟理论中的最小测度。