无共轭点的均匀可见流形上测地流动的 ergodic 性质研究

本文对闭曲面 genus 至少为二且无共轭点的均匀可见流形 M 的测地流动的 ergodic 性质进行了全面研究。如果 M 满足连续绿色束和有界渐近线的条件，我们研究了奇异测地的几何性质，并表明如果所有奇异测地都是闭合的，则最多只有有限个孤立的奇异闭合测地和有限个广义条带。特别是，在上述假设下，测地流动以 Liouville 测度是 ergodic 的。让 (M,g) 为无共轭点的闭均匀可见流形，X 为其普适覆盖。在熵隙假设下，测地流动具有唯一的最大熵测度（以下简称 MME）。我们构建该唯一 MME 的 Patterson-Sullivan 构造，表明其具有局部乘积结构、完全支持，并具有 Bernoulli 性质。如果进一步假设 M 拥有连续绿色束且测地流动具有超声素周期点，我们利用 MME 在开放稠密子集上的非均匀超声素结构以及 \cite{LP} 中发展的象征方法，表明对于任意 H"{o}lder 连续函数，在压力隙条件下，平衡状态是唯一的。就上述条件而言，我们将 MME 的混合性质用于计算包含闭合测地的自由同伦类的数量，以及普适覆盖中黎曼球的体积渐进。我们随后获得一些关于 Margulis 函数的刚性结果。最后，对于无共轭点的均匀可见流形 M=X/\Gamma（不一定紧致），我们表明如果 Γ 是非初等的且包含一个开放保距变换，则 Hopf-Tsuji-Sullivan 二元对立成立。