同调扰动、等变上同调与 Koszul 对偶

我们的主要目标是说明过去 40 年中的同调扰动理论（HPT）结果如何直接地或只需少量额外工作就能给出近十年出现的一些 Koszul 对偶结果。当将一个庞大对象（例如定义某种几何情形各种不变量的链复形）截断为一个小模型时，通常会产生高次同伦，而这些高次同伦随后可以用 sh-结构（强同伦结构）的语言简洁地处理。这等同于精确处理封装各种 coherence 条件的必需附加结构的方式。给定例如两个增广微分分次代数 A 和 B，从 A 到 B 的 sh-映射是从 A 的约化 bar 构造到 B 的挠余链，并且以此方式，增广微分分次代数的态射类被扩充为 sh-态射的类。在本文中，我们通过微分同调代数技术（包括同调扰动理论，而后者是处理 sh-结构的常用工具）探索等变（上）同调的小模型。进而，对具有奇正次数生成元的有限型外代数，Koszul 对偶归结为该校代数上的 sh-模范畴与其约化 bar 构造上的 sh-余模范畴之间的对偶。这种对偶依赖于微分分次 Tor、Ext、Cotor 和 Coext 函子的扩充函子性，扩充到适当的 sh-范畴。我们将小模型构造为某些挠张量积与挠 Hom-对象。这些是几何丛上链与上链的链和上链模型，并且与合适的附加结构相容。