分次环中零因子、单位元与冒号理想的齐性

在本文中，我们首先将群环 $K[G]$（其中 $K$ 为域）的 Kaplansky 零因子猜想推广到 $G$ 为无挠群时 $G$-分次环 $R=\bigoplus\limits_{n\in G}R_{n}$ 的更一般情形。然后我们证明，如果 $I$ 是 $G$ 为全序群时 $G$-分次环 $R$ 的一个非忠实左理想，则存在一个（非零）齐次元素 $g\in R$ 使得 $gI=0$。该定理在分次所涉群为全序群的情况下，对新猜想给出了肯定回答。我们的结果还将 McCoy 关于多项式环的著名定理推广到了 $G$-分次环的更一般情形。接着，我们关注 Kaplansky 单位猜想。尽管该猜想最近在一般情形下被反例推翻，但我们发现了非常有用且具一般性的结果，在分次所涉群为全序群的情况下对该单位猜想的推广版本给出了肯定回答。特别地，我们证明了当 $G$ 为全序群时，$G$-分次整环的每个可逆元素都是齐次的。这一关键结果使我们能够对 $G$-分次交换环中的可逆元素进行刻画。该定理特别指出，可逆元素的齐次分量构成一个互极大理想，且所有不同的双重乘积都是幂零的。接下来，我们证明，如果 $I$ 是 $G$ 为无挠阿贝尔群时 $G$-分次交换环 $R$ 的一个分次根理想，且 $J$ 是 $R$ 的任意理想，则冒号理想 $I:_{R}J$ 是一个分次理想。我们的定理将 Armendariz 关于简化多项式环的结果极大地推广到了分次环的更一般情形。